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遞歸是什么?

來源:千鋒教育
發布人:xqq
時間: 2023-10-10 23:57:07 1696953427

一、遞歸是什么

簡單地說,就是如果在函數中存在著調用函數本身的情況,這種現象就叫遞歸。遞歸的基本思想是某個函數直接或者間接地調用自身,這樣原問題的求解就轉換為了許多性質相同但是規模更小的子問題。求解時只需要關注如何把原問題劃分成符合條件的子問題,而不需要過分關注這個子問題是如何被解決的。

遞歸有三大要素

名列前茅要素:明確你這個函數想要干什么

對于遞歸,我覺得很重要的一個事就是,這個函數的功能是什么,他要完成什么樣的一件事,而這個,是完全由你自己來定義的。也就是說,我們先不管函數里面的代碼什么,而是要先明白,你這個函數是要用來干什么。

例如,我定義了一個函數

// 算 n 的階乘(假設n不為0)

int f(int n){

}

這個函數的功能是算 n 的階乘。好了,我們已經定義了一個函數,并且定義了它的功能是什么,接下來我們看第二要素。

第二要素:尋找遞歸結束條件

所謂遞歸,就是會在函數內部代碼中,調用這個函數本身,所以,我們必須要找出遞歸的結束條件,不然的話,會一直調用自己,進入無底洞。也就是說,我們需要找出當參數為啥時,遞歸結束,之后直接把結果返回,請注意,這個時候我們必須能根據這個參數的值,能夠直接知道函數的結果是什么。

例如,上面那個例子,當 n = 1 時,那你應該能夠直接知道 f(n) 是啥吧?此時,f(1) = 1。完善我們函數內部的代碼,把第二要素加進代碼里面,如下

// 算 n 的階乘(假設n不為0)

int f(int n){

??? if(n == 1){

??????? return 1;

??? }

}

有人可能會說,當 n = 2 時,那我們可以直接知道 f(n) 等于多少啊,那我可以把 n = 2 作為遞歸的結束條件嗎?

當然可以,只要你覺得參數是什么時,你能夠直接知道函數的結果,那么你就可以把這個參數作為結束的條件,所以下面這段代碼也是可以的。

// 算 n 的階乘(假設n>=2)

int f(int n){

??? if(n == 2){

??????? return 2;

??? }

}

注意我代碼里面寫的注釋,假設 n >= 2,因為如果 n = 1時,會被漏掉,當 n <= 2時,f(n) = n,所以為了更加嚴謹,我們可以寫成這樣:

// 算 n 的階乘(假設n不為0)

int f(int n){

??? if(n <= 2){

??????? return n;

??? }

}

第三要素:找出函數的等價關系式

第三要素就是,我們要不斷縮小參數的范圍,縮小之后,我們可以通過一些輔助的變量或者操作,使原函數的結果不變。

例如,f(n) 這個范圍比較大,我們可以讓 f(n) = n * f(n-1)。這樣,范圍就由 n 變成了 n-1 了,范圍變小了,并且為了原函數f(n) 不變,我們需要讓 f(n-1) 乘以 n。

說白了,就是要找到原函數的一個等價關系式,f(n) 的等價關系式為 n * f(n-1),即

f(n) = n * f(n-1)。

延伸閱讀;

二、遞歸的程序特性

優雅性

相比其他解法(比如迭代法),使用遞歸法,你會發現只需少量程序就可描述出解題過程,大大減少了程序的代碼量,而且很好理解。遞歸的能力在于用有限的語句來定義對象的無限集合。

反向性

由于遞歸調用程序需要維護調用棧,而棧(我們在上文提過)具有后進先出的特征,因此遞歸程序適合滿足取反類需求。我們在第五部分有一些編程實踐,比如字符串取反,鏈表取反等相關有趣的算法問題。

遞推關系

遞歸程序可以較明顯的發現遞推關系,反過來也可以這么說,具有遞推關系的問題基本都可以通過遞歸求解(當然也許有性能更佳的解法,但遞歸絕對是一種選擇)。遞推關系常見問題有楊輝三角、階乘計算。

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