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0 范數、1 范數、2 范數有什么區別?

來源:千鋒教育
發布人:xqq
時間: 2023-10-14 07:49:54 1697240994

一、定義方式不同

0范數是指向量中非零元素的個數。它并不是一個范數,而是一種計數。在某些情況下,0范數可以用來表示向量的稀疏性,即向量中非零元素的數量。

1范數(也稱為L1范數)是指向量中各個元素的絕對值之和。換句話說,1范數衡量了向量中各個元素對整體的貢獻程度,其計算方式是將各個元素的絕對值相加。

2范數(也稱為L2范數)是指向量中各個元素的平方和的平方根。2范數可以用來衡量向量的長度或者大小,其計算方式是將各個元素的平方相加,然后取平方根。

二、特性不同

0范數具有稀疏性特性,它能夠用來衡量向量中非零元素的個數,從而表示向量的稀疏程度。

1范數具有稀疏性和不變性的特性。它能夠使向量中的一些元素變為零,從而實現特征選擇和降維,同時1范數對異常值具有一定的魯棒性。

2范數具有平滑性和連續性的特性。它能夠衡量向量的整體大小,并且在求解優化問題時具有較好的數學性質。

三、效果不同

0范數常用于稀疏信號恢復、特征選擇等問題中,能夠獲得更加稀疏的解。

1范數常用于Lasso回歸、壓縮感知等問題中,能夠實現特征選擇和降維,同時對異常值具有魯棒性。

2范數常用于嶺回歸、主成分分析等問題中,能夠獲得平滑的解,具有一定的抗干擾能力。

四、應用不同

0范數在圖像處理、信號處理等領域中有廣泛的應用,可以用來表示圖像和信號的稀疏性。

1范數在機器學習、統計學習等領域中常被用于特征選擇、模型稀疏化等問題。

2范數在數據挖掘、優化算法等領域中常用于求解優化問題、降維等。

0范數、1范數、2范數是數學中常用的范數概念,它們在定義方式、特性、效果和應用上都存在差異。熟練掌握它們的特點和應用場景,有助于我們在實際問題中選擇合適的范數來進行處理和求解。

延伸閱讀1:范數是什么意思

范數(Norm)是一個數學概念,用于衡量向量的大小或長度。在數學中,向量是由一些有序數構成的有向線段,而范數就是度量這些數的大小和相似度的方法。范數可以用于衡量向量在空間中的大小和相似度,并在許多領域中都有廣泛的應用。

在向量空間中,范數通常表示為||x||,其中x是向量。范數必須滿足一定的條件,包括:

非負性:對于所有向量x,范數必須大于等于0,即||x|| >= 0。齊次性:對于所有向量x和標量a,齊次性要求||ax|| = |a| ||x||。三角不等式:對于所有向量x和y,三角不等式要求||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

根據這些條件,我們可以定義不同的范數,例如:

L1范數:也稱為曼哈頓范數,表示為||x||1,是向量中所有元素的絕對值之和。L2范數:也稱為歐幾里得范數,表示為||x||2,是向量中所有元素的平方和的平方根。無窮范數:表示為||x||∞,是向量中元素的絕對值的最大值。

范數在機器學習和數據科學中有著廣泛的應用,例如在正則化、特征選擇、聚類等領域中。通過選擇合適的范數,可以幫助我們更好地理解和處理向量數據。

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