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環和域的區別是什么?

來源:千鋒教育
發布人:xqq
時間: 2023-10-15 09:03:50 1697331830

一、環(Ring)

定義:環是一個包含至少兩個基本運算(加法和乘法)的代數結構,它是一個非空集合R,其中定義了兩個二元運算:加法(+)和乘法(*)。加法運算:環中的加法運算滿足封閉性、結合律、交換律、存在零元素(加法單位元)和逆元素(對于每個元素a,都存在一個元素-b,使得a + b = 0)。乘法運算:環中的乘法運算滿足封閉性和結合律。但不一定滿足交換律,即環可以是非交換環。分配律:環滿足左分配律和右分配律,即對于任意元素a、b、c,有a * (b + c) = a * b + a * c 和 (a + b) * c = a * c + b * c。

二、域(Field)

定義:域是一個包含至少兩個基本運算(加法和乘法)的代數結構,它是一個非空集合F,其中定義了兩個二元運算:加法(+)和乘法(*)。加法運算:域中的加法運算滿足封閉性、結合律、交換律、存在零元素(加法單位元)和逆元素(對于每個元素a,都存在一個元素-b,使得a + b = 0)。乘法運算:域中的乘法運算滿足封閉性、結合律和交換律。分配律:域滿足左分配律和右分配律,即對于任意元素a、b、c,有a * (b + c) = a * b + a * c 和 (a + b) * c = a * c + b * c。乘法逆元素:域中的非零元素都有乘法逆元素,即對于每個非零元素a,都存在一個元素a^-1,使得a * a^-1 = 1。這意味著除0外的所有元素都有乘法逆元素。

三、環和域的區別

乘法交換性:環中的乘法不一定滿足交換律,即環可以是非交換環;而域中的乘法必須滿足交換律,即域是交換環。乘法逆元素:環中的元素不一定都有乘法逆元素,但域中的除0外的所有元素都有乘法逆元素。結論:域是一種更為特殊和更強大的代數結構,它在乘法運算上比環更加嚴格要求,所有域也是環,但并非所有環都是域。

延伸閱讀

域擴張

在抽象代數學中,域擴張是指在一個給定的域上添加一個新的元素,從而得到一個包含原始域的更大域的過程。域擴張在數論、代數幾何學和密碼學等領域有廣泛的應用。在域擴張中,我們可以利用一些基本的代數構造,如代數元、生成元和最小多項式,來描述和分析新域的性質。

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