一、求和符號的使用

Latex中求和符號是使用$\sum$表示，它用來表示一系列數值的總和。

例如，要表示1到10的整數和：

$$\sum_{i=1}^{10}i$$

其中$\sum$表示求和，下標$i=1$表示從1開始累加的變量，上標10表示到10結束。則上式的結果為：

$$1+2+3+...+10=55$$

如果是求平方和，則可以這樣表示：

$$\sum_{i=1}^{10}i^2$$

則上式的結果為：

$$1^2+2^2+3^2+...+10^2=385$$

除了使用整數作為下標外，還可以使用字母作為下標:

$$\sum_{k=1}^{n}f(k)$$

其中$f(k)$表示下標為k的項。

二、多重求和符號

當需要求解多維數組的總和時，就需要使用多重求和符號$\sum\sum$，甚至還可以使用更高維度的求和符號。

例如，一個二維數組$A_{m\times n}$，它的所有元素的和可以寫成：

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}$$

其中$i$表示行的編號，$j$表示列的編號。更高維度的求和符號也類似。

三、求和符號的屬性

1、求和符號可以交換位置

對于一串求和式子，求和符號可以交換位置，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}$$

上式的意思是，先按行求和再按列求和得到的結果，和先按列求和再按行求和的結果相等。

2、求和符號可以分配系數

對于一串求和式子，可以將某個常數提到求和符號外面，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i$$

上式的意思是，將$a_i$和$b_i$的和再求和，得到的結果等于先將$a_i$求和得到的結果加上$b_i$求和得到的結果。

3、求和符號可以去掉常數項

如果一串求和式子的每一項都都同加上一個常數$c$，則可以將這個常數項提到求和符號外，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i + c) = \sum_{i=1}^{n}a_i + nc$$

上式的意思是，求和時，將$a_i$的和再加上$n$個$c$。

四、應用舉例

1、利用求和符號求解逆序對問題

對于一個長度為$n$的數組$A$，逆序對指的是滿足$iA_j$的二元組$(i,j)$的數量。

使用求和符號，可以較為簡潔地求解逆序對問題，代碼如下：

$$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}[A_i>A_j]$$

其中$[A_i>A_j]$是一個布爾值，表示$A_i>A_j$時取值為1，否則為0。則上式的結果即為逆序對的數量。

2、離散化問題

對于一組數據，其取值分布可能較廣，難以進行統計分析，甚至可能會出現“指數級圖像”，無法利用數據進行計算。

離散化是一種將連續型的數據映射到有限的幾個數值上的方法。其原理是先將數據排序，然后將每個數據映射到其在排好序后的順序。

應用求和符號可以輕松地進行離散化，代碼如下：

$$ans_i=\sum_{j=1}^{n}[A_j

其中$[A_j

3、利用矩陣乘法實現快速矩陣求和
對于一個矩陣$A_{m\times n}$，求解其中所有元素的和可以分別對每行求和，然后再對每行的和求和，即：
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}\right)$$

但是這個過程中，需要將每一行的元素相加。
可以利用矩陣乘法的思路，可以構造一個大小為$1\times n$的矩陣$B$，其中每個元素都是1，然后將矩陣$A$乘上矩陣$B$，得到的矩陣即為每行元素之和，最后將矩陣$B$的元素之和即為矩陣$A$的所有元素之和。
代碼如下：
$$ans=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left[\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}\right]=\sum_{i=1}^{m}\left[\begin{matrix}1&1&\cdots&1\end{matrix}\begin{matrix}A_{i,1}\\A_{i,2}\\\vdots\\A_{i,n}\end{matrix}\right]=\begin{matrix}1&1&\cdots&1\end{matrix}A_{m\times n}$$

其中，$A_{m\times n}$與$B_{1\times n}$相乘得到的結果是一個$1\times 1$的矩陣，即$A_{m\times n}$的所有元素之和。