一、題意介紹

2022美賽e題，是一道經典的網絡流算法題目，考察的是多源匯最小費用最大流問題。題目中給出一個有向帶權圖，其中每條邊都有最大容量和單位費用。還給出了n個源點和n個匯點，要求從源點送n個單位的流量到匯點，每個源點只能送1個單位的流量，匯點也只能接收1個單位的流量。求在滿足這個條件的前提下，最小化發送費用。

這道題目看上去比較復雜，但是只要掌握了相關的算法和思路，就可以簡單高效地解決。下面分別從網絡流、費用流、Dijkstra算法和多源匯問題四個方面進行詳細分析。

二、網絡流

網絡流算法是指在一個圖中尋找一條從源點到匯點的路徑，使得路徑中所有邊的權值之和最小（或最大）。網絡流算法中比較經典的有 Ford-Fulkerson 算法，Dinic 算法，Edmonds-Karp算法 等。

三、費用流

費用流問題指的是找到一條從源點到匯點的路徑，使得路徑上所有邊的流量都大于等于0，同時使得路徑上所有邊的費用之和最小或最大。

四、Dijkstra算法

Dijkstra算法是由荷蘭計算機科學家Edsger W. Dijkstra在1956年發明，用于解決帶權有向圖或無向圖的單源最短路徑問題。其基本思想是貪心，每一次找到一個距離源點最近的未標記頂點，并將其標記，然后根據這個頂點的出邊更新與它直接相鄰的頂點到源點的距離。

// Dijkstra算法偽代碼
for (i=1; i<=n; i++) {
    dist[i] = inf;
    vis[i] = false;
}
dist[s] = 0;
for (i=1; i<=n; i++) {
    int minDist = inf, u = -1;
    for (j=1; j<=n; j++) {
        if (!vis[j] && minDist > dist[j]) {
            minDist = dist[j];
            u = j;
        }
    }
    if (u == -1) break;
    vis[u] = true;
    for (int k=head[u]; k; k=edge[k].next) {
        int v = edge[k].to;
        if (dist[v] > dist[u] + edge[k].w) {
            dist[v] = dist[u] + edge[k].w;
        }
    }
}

五、多源匯問題

多源匯問題指的是給定一個有向圖中，存在多個源點和多個匯點，要求從源點到匯點傳輸一定數量的流量，同時存在一定的源點-匯點流量約束條件。

多源匯問題可以轉化為最小費用最大流問題，具體做法是將源點向匯點連一條容量為1，費用為0的邊，然后通過建立超級源點和超級匯點的方式，將多個源點和多個匯點轉化為單個源點和匯點的方式，再進行求解。

// 多源匯問題偽代碼
for (i=1; i<=n; i++) {
    add_edge(s, i, 1, 0);
    add_edge(i+n, t, 1, 0);
    for (j=1; j<=n; j++) {
        int cost;
        scanf("%d", &cost);
        add_edge(i, j+n, 1, cost);
    }
}
int flow, cost;
min_cost_flow(s, t, INF, flow, cost);
printf("%d\n", cost);

六、總結

綜上所述，2022美賽e題是一道操作難度較高的網絡流算法題目，考察了多種經典的算法和思路，包括Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、費用流算法、Dijkstra算法和多源匯問題。對于學習者來說，需要多加練習，深入理解每個算法的思想和實現方式，在實踐中不斷提高調試和優化的能力，才能真正掌握這些知識點。